多普勒频移

1. 多普勒效应

多普勒效应(Doppler effect)是为纪念奥地利物理学家和数学家克里斯琴·约翰·多普勒(Christian Johann Doppler)而命名的，他于1842年提出了这一理论。

根据多普勒效应，如果观测点和波源在同一介质中相对运动，则波源的发射频率\(f _0\)和观测点观测到的频率\(f _R\)之间，有如下关系：

\(f _R= \left( \frac{c+v _R}{c+v _0} \right) f _0\)

\(c\) – 波在介质中的传播速度；

\(v _R\) – 观测点在介质中的运动速度(接近波源时为正，远离波源时为负)；

\(v _0\) – 波源在介质中的运动速度(接近观测点时为负，远离观测点时为正)。

变换一下形式：

\(f _R = \left( \frac{c+v _R}{c+v _0} \right) f _0 = \left( \frac{c+v _0-v _0+v _R}{c+v _0} \right) f _0 =  \left( 1+ \frac{v _R-v _0}{c+v _0} \right) f _0\)

对于电磁波来说，波源在介质中的运动速度\(v _0\) 通常远小于光速\(c\) ，即，\((c+v _0) \approx c\)，因此

\(f _R =  \left( 1+ \frac{v _R-v _0}{c+v _0} \right) f _0 \dot =  \left( 1+ \frac{v _R-v _0}{c} \right) f _0 \) 

\(f _d = f _R - f _0=  \frac{v _R-v _0}{c} f _0 \)

\(f _d\)就是多普勒频移。

多普勒频移可以直观的理解：波源发射振荡电磁波，如果观察者相对于波源是静止的，则在单位时间内收到的振荡数目\(f _R\)和波源发出的数目\(f _0\)相同，即\(f _R = f _0\)；如果波源与观察者接近，则在单位时间内观察者收到的振荡数目\(f _R\)要更多一些，即\(f _R > f _0\)；反之，则\(f _R < f _0\)。

对于雷达，如果发射机和接收机共用一部天线，设运动目标相对于雷达的径向速度为 \(v _r\)，则

(1) 雷达天线发射电磁波至运动目标的过程中，以运动目标为观测点，雷达为波源，则

\(v _R = v _r\)，\(v _0 = 0\)，\(f _{d1} = \frac{v _R-v _0}{c} f _0 = \frac{v _r}{c} f _0\)

(2) 电磁波被目标散射，一部分沿原路径返回雷达天线的过程中，以雷达所在位置为观测点，运动目标为波源，则

\(v _R = 0\)，\(v _0 = -v _r\)，\(f _{d2} = \frac{v _R-v _0}{c} f _0 = \frac{v _r}{c} f _0\)

所以，电磁波从发射到返回的多普勒频移为

\(f _d = f _{d1} + f _{d2} = \frac{2 v _r}{c} f _0\)

由于\(f _0 = \frac{c}{ \lambda _0}\)

\(f _d = \frac{2 v _r}{c} f _0 = \frac{2 v _r}{ \lambda _0}\)

\(v _r = \frac{c}{2 f _0} f _d = \frac{1}{2} \lambda _0 f _d \)

确定了雷达的发射频率\( f _0\)或波长\( \lambda _0\)，从观测点检测雷达回波信号的频率\( f _d\)，就可以计算出运动目标的径向速度\( v _r\)，这就是雷达测速的原理。

如果目标运动方向与天线-目标连线方向的夹角\(\alpha\)，目标运动速度为\( v \)，目标的径向速度为\( v _r\)，则

\(v _r = v cos \alpha \)

2. 多普勒信息的提取

通常，多普勒频移处于音频范围。如，当\(\lambda _0 = 10 cm\)，\(v _r = 300 m/s\)时，\(f _d = 6 kHz\)，比较雷达工作频率\(f _0 = 3000 MHz\)和回波信号频率\(f _r = 3000 MHz \pm 6 kHz \)，两者相差的百分比很小，因此，要从接收信号中提取多普勒频移需要采用差拍的方法，即取出\(f _0\)和\(f _r\)的差值\(f _d\)。